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2014年06月26日21時38分46秒

AtCoder Beginner Contest #011 D問題 - 大ジャンプ

Source

AtCoder Beginner Contest #011
問題文

問題概要

二次元平面上の $(a,b)$ にいるとき，$1$ 回ジャンプすると，等確率に $(a+D,b),\ (a-D,b),\ (a,b+D),\ (a,b-D)$ のどこかに移動する．
最初 $(0,0)$ にいて，ちょうど $N$ 回だけジャンプした後に，$(X,Y)$ にいる確率を求める問題．

解法

$X$ または $Y$ が $D$ で割り切れないならば，到達不可能なので答えは $0$．
$X$ と $Y$ を $D$ で割って，$D=1$ の時に帰着させる．
ジャンプして，$x$ 軸方向に動いた回数 $k$ を全て試す．このような確率は $\frac{N!}{k!(N-k)!} (\frac{1}{2})^N$ となる．
$k$ 回のうち，正の方向には $X + (k-X)/2$ 回，負の方向には $(k-X)/2$ 回ジャンプすれば良い．回数が非負整数でなければ不可能．
このような確率も，$\frac{a!}{b!(a-b)!} (\frac{1}{2})^a$ の形でかけ，$y$ 軸方向も同様に計算できる．
なので，条件を満たす確率を掛けあわせて，$k$ を動かしつつ足し合わせれば良い．
ただし，$P(a,b) = \frac{a!}{b!(a-b)!} (\frac{1}{2})^a$ をそのまま計算するとオーバーフローしてしまう可能性があるので，
$P(a,b)$ に対する漸化式（二項係数のパスカルの三角形の漸化式とほぼ似たような感じ）を用いてDPする，とか，$\log$ を取って計算する（$\log (k!)$ を前計算しておく）などして対処する．
時間計算量 $O(N)$．$P(a,b)$ を漸化式で求めた場合は $O(N^2)$．

C++によるスパゲッティなソースコード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define mygc(c) (c)=getchar_unlocked()
void reader(int *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
void reader(int *x, int *y){reader(x);reader(y);}

int N, D, X, Y;
double pw[1200], fact[1200];

double C(int a, int b){
  return exp( pw[a] + fact[a] - fact[a-b] - fact[b] );
}

double solve(int N, int X){
  int i, j;
  
  if(N < X || N%2 != X%2) return 0;

  i = X + (N-X)/2;
  j = (N-X)/2;

  return C(i+j, i);
}

int main(){
  int i, j, k;
  double res = 0;

  pw[0] = 0; fact[0] = 0;
  REP(i,1,1200) pw[i] = pw[i-1] + log(0.5);
  REP(i,1,1200) fact[i] = fact[i-1] + log(i);

  reader(&N,&D);
  reader(&X,&Y);


  if(X%D || Y%D){
    puts("0"); return 0;
  }

  X /= D;
  Y /= D;
  if(X < 0) X = -X;
  if(Y < 0) Y = -Y;

  rep(i,N+1) res += solve(i, X) * solve(N-i, Y) * C(N,i);
  printf("%.15f\n", res);

  return 0;
}

Current time: 2024年04月25日08時12分37秒
Last modified: 2014年06月26日21時38分46秒 (by laycrs)
Tags: Competitive_Programming AtCoder AtCoder_Beginner_Contest ABC011 ABC_D
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