yukicoder No.42 - 貯金箱の溜息(writer担当)

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問題文

問題概要

硬貨の種類は $1, 5, 10, 50, 100, 500$ 円で全て無限に持っているとする.
$M$ 円ちょうどを支払う方法の数を ${\rm mod}\ 1000000009\ (10^9+9)$ で求める問題.

解法

$C_0 = 1, C_1 = 5, C_2 = 10, C_3 = 50, C_4 = 100, C_5 = 500$ とする.
$C_k$ は $C_{k-1}$ の倍数となっていることに注意.
$f(x,m)$ で $C_x$ 円以下の硬貨のみを用いて $m$ 円ちょうどを支払う方法の数を表すとする.
動的計画法を用いようとすると,$C_x$ 円硬貨を何枚使うかで場合分けして,
$\qquad f(x,m) = f(x-1, m) + f(x-1, m-C_x) + f(x-1, m-2C_x) + \cdots$
または,整理して
$\qquad f(x,m) = f(x-1, m) + f(x, m-C_x)$
となるが,もちろん $M$ が大きすぎるためこのままでは計算できない.
結論から先に言うと,任意の $k$ に対して,$f(x,mC_x+k)$ が $m$ に対する $x$ 次式になることを用いれば計算できる.
動的計画法で $f(5,m)$ の小さい範囲($m \leq 3000$ ぐらいで十分)を計算し,$f(5,500m+(M\ {\rm mod}\ 500))$ を多項式として求め,そこに $m = \lfloor M/500 \rfloor$ を代入してやれば良い.
($\lfloor M/500 \rfloor$ はでかいのでオーバーフローに注意)
多項式を求めるには,例えば,ラグランジュ補間(wikipedia)等を用いれば良い.(${\rm mod}\ 1000000009$ での逆元を求めることが必要となる)
時間計算量は硬貨の種類数を $K=6$ とすれば,DPパートは $O(K^2 C_{K-1})$ 程度で,多項式補間は $O(K^2)$ 程度でできる.

なぜ多項式になるかというと,まず,任意の $m$ に対して $f(0,m) = 1$ だから $f(0,m)$ は $m$ に関する $0$ 次式である.
$d$ 次の多項式 $g(x)$ に対して,$g(kx)$ も $d$ 次の多項式になり,また,$\displaystyle \sum_{y=1}^x g(y)$ は $d+1$ 次の多項式になる.
これらを踏まえると,動的計画法の上の式より,$f(x,m)$ は $f(x-1,m)$ の和の形でかけているから,再帰的に $f(x,mC_x+k)$ が $m$ に対する $x$ 次式になることがわかる.

C++によるスパゲッティなソースコード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define mygc(c) (c)=getchar_unlocked()
#define mypc(c) putchar_unlocked(c)

#define ll long long
#define ull unsigned ll

void reader(int *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
void reader(int *x, int *y){reader(x);reader(y);}
void reader(int *x, int *y, int *z){reader(x);reader(y);reader(z);}
void reader(ll *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
int reader(char c[]){int i,s=0;for(;;){mygc(i);if(i!=' '&&i!='\n'&&i!='\r'&&i!='\t'&&i!=EOF) break;}c[s++]=i;for(;;){mygc(i);if(i==' '||i=='\n'||i=='\r'||i=='\t'||i==EOF) break;c[s++]=i;}return s;}

void writer(int x, char c){int s=0,m=0;char f[10];if(x<0)m=1,x=-x;while(x)f[s++]=x%10,x/=10;if(!s)f[s++]=0;if(m)mypc('-');while(s--)mypc(f[s]+'0');mypc(c);}
void writer(ll x, char c){int s=0,m=0;char f[20];if(x<0)m=1,x=-x;while(x)f[s++]=x%10,x/=10;if(!s)f[s++]=0;if(m)mypc('-');while(s--)mypc(f[s]+'0');mypc(c);}
void writer(const char c[]){int i;for(i=0;c[i]!='\0';i++)mypc(c[i]);}

void extended_euclid(ll x,ll y,ll *c,ll *a,ll *b){
  ll a0,a1,a2,b0,b1,b2,r0,r1,r2,q;
  r0=x; r1=y; a0=1; a1=0; b0=0; b1=1;
  while(r1>0){
    q=r0/r1; r2=r0%r1; a2=a0-q*a1; b2=b0-q*b1;
    r0=r1; r1=r2; a0=a1; a1=a2; b0=b1; b1=b2;
  }
  *c=r0; *a=a0; *b=b0;
}

ll get_inv(ll n, ll p){
  ll a,b,c;
  extended_euclid(n,p,&c,&a,&b);
  if(a<p) a+=p;
  return a%p;
}

#define MD 1000000009
#define MX 1000000

int T;
ll M;
int dp[MX];
int coins[5] = {5, 10, 50, 100, 500};

int main(){
  int i, j, k;
  ll x; int r;
  ll res, tmp;

  rep(i,MX) dp[i] = 1;
  rep(k,5) REP(i,coins[k],MX) dp[i] = (dp[i] + dp[i-coins[k]]) % MD;

  reader(&T);
  assert(1 <= T && T <= 10000);
  while(T--){
    reader(&M);
    assert(1LL <= M && M <= 1000000000000000000LL);

    x = M / 500;
    r = M % 500;

    res = 0;
    rep(k,6){
      tmp = 1;
      rep(i,6) if(k!=i) tmp = (tmp * ((x-i)%MD)) % MD;
      rep(i,6) if(k!=i) tmp = (tmp * get_inv((k-i+MD)%MD,MD)) % MD;
      res = (res + tmp * dp[k*500 + r]) % MD;
    }

    if(res < 0) res += MD;
    writer(res,'\n');

  }

  return 0;
}

Current time: 2017年07月21日13時40分11秒
Last modified: 2014年11月06日13時04分58秒 (by laycrs)
Tags: Competitive_Programming yukicoder
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