yukicoder No.320 - 眠れない夜に

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問題文

問題概要

$N$ 番目のフィボナッチ数 $f_N$ を漸化式
\begin{equation} \begin{split}
& f_1 = f_2 = 1, \\
& f_k = f_{k-1} + f_{k-2}, \quad k=3,4,5,\ldots
\end{split} \label{9fs9gsi} \end{equation}に従ってを計算したつもりですが,間違えて何回か $1$ だけ少なくして $k \geq 3$ の幾つかの $k$ に対して
\begin{equation} \begin{split}
f_k = f_{k-1} + f_{k-2} - 1
\end{split} \label{i9sgi} \end{equation}の漸化式を用いてしまい $f_N = M$ という計算結果を得ました.
間違えて \eqref{i9sgi} の式を用いた回数の最小回数を求める問題.
ただし,$f_N = M$ となり得ないならそれを指摘する.

解法

用いる漸化式 \eqref{9fs9gsi} および \eqref{i9sgi} は線形なので,$1$ 減らした影響は最終的には重ねあわせで書け,その影響もフィボナッチ数の漸化式に従って増大する.
つまり,$k=i$ の時に \eqref{i9sgi} を用いると,最終結果は $f_{N-i+1}$ だけ小さくなる.
よって,$f_N - M$ を $f_1,f_2,\ldots,f_{N-2}$ の異なる要素の和で表すとき,最小でいくつの要素の和で書けるか,という問題になる.
$f_N - M$ をフィボナッチ数を基数とするフィボナッチ進数に直せばよく,それは,$k=N-2,N-3,\ldots,1$ と,残りがまだ $f_k$ 以上であればその桁を $1$ にするというGreedyをやれば良い.
時間計算量は $O(N)$.

C++によるスパゲッティなソースコード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define mygc(c) (c)=getchar_unlocked()
#define mypc(c) putchar_unlocked(c)

#define ll long long
void reader(ll *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
template <class T, class S> void reader(T *x, S *y){reader(x);reader(y);}
void writer(int x, char c){int s=0,m=0;char f[10];if(x<0)m=1,x=-x;while(x)f[s++]=x%10,x/=10;if(!s)f[s++]=0;if(m)mypc('-');while(s--)mypc(f[s]+'0');mypc(c);}
template<class T> void writerLn(T x){writer(x,'\n');}

ll N, M;
ll fib[100];

int main(){
  int i, res = 0;

  reader(&N,&M);

  fib[1] = fib[2] = 1;
  REP(i,3,N+1) fib[i] = fib[i-1] + fib[i-2];

  M = fib[N] - M;
  for(i=N-2;i;i--) if(M >= fib[i]) M -= fib[i], res++;

  if(M) res=-1;
  writerLn(res);

  return 0;
}

Current time: 2017年07月21日13時34分58秒
Last modified: 2015年12月16日00時38分46秒 (by laycrs)
Tags: Competitive_Programming yukicoder
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