yukicoder No.210 - 探し物はどこですか?

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問題文

問題概要

$N$ 個の部屋があって,どこかの部屋にメガネを忘れた.
部屋 $i$ でメガネをなくした確率は $P_i$ である.
部屋 $i$ でメガネをなくした場合,その部屋でメガネを探した場合,見つかる確率は $Q_i$ である.
見つからなければ,何貝探してもよく,何回目でもその確率で見つかる.
メガネが見つかるまでに探さなければいけない回数の期待値を最小化するように探した時の,メガネが見つかるまでに探す回数の期待値を求める問題.

解法

見つかる確率が高い部屋を選択するのが最善.
部屋 $i$ で $k$ 回探したけれど見つからなくて,次に探して見つかる確率は $P_i(1-Q_i)^kQ_i$ なので,最初に $P_iQ_i$ を二分ヒープに突っ込んでおいて,最大値を取り出しては,$1-Q_i$ をかけて突っ込みなおすということを繰り返せば良い.
見つかる確率が $1$ に十分近づくまでシミュレーションをすれば良い.
許容誤差の範囲内になるために何回探すまでシミュレーションすれば良いかというとちゃんと考えるとできるが,ワーストケースである $N=1000, P_i=0.001, Q_i=0.01$ で試せば $10^6$ 程度で十分であることがわかる.
それは,全ての部屋を $1000$ 回探し,見つかる確率は最小でも $0.01$ なので,直感的にも十分見つかる確率は $1$ になってそうである.
また誤差を減らすには,シミュレーションの範囲で見つからなかった確率も求め,(例えば,少なめにその確率でシミュレーションした回数だけで見つかるとして)答えの期待値に足し込んでやると良い.
見つからなかった場合の期待値をちゃんと補正してやれば,シミュレーションの回数は $400000$ 回でも通った.

C++によるスパゲッティなソースコード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define mygc(c) (c)=getchar_unlocked()
#define mypc(c) putchar_unlocked(c)

void reader(int *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
void writer(double x, char c){printf("%.15f",x);mypc(c);}
template<class T> void writerLn(T x){writer(x,'\n');}

template <class T>
struct heapEx {
  int *hp, *place, size; T *val;

  void malloc(int N){hp=(int*)std::malloc(N*sizeof(int));place=(int*)std::malloc(N*sizeof(int));val=(T*)std::malloc(N*sizeof(T));}
  void free(){free(hp);free(place);free(val);}
  void* malloc(int N, void *workMemory){hp=(int*)workMemory;workMemory=(void*)(hp+N);place=(int*)workMemory;workMemory=(void*)(place+N);val=(T*)workMemory;workMemory=(void*)(val+N);return workMemory;}
  void init(int N){int i;size=0;rep(i,N)place[i]=-1;}
  void up(int n){int m;while(n){m=(n-1)/2;if(val[hp[m]]<=val[hp[n]])break;swap(hp[m],hp[n]);swap(place[hp[m]],place[hp[n]]);n=m;}}
  void down(int n){int m;for(;;){m=2*n+1;if(m>=size)break;if(m+1<size&&val[hp[m]]>val[hp[m+1]])m++;if(val[hp[m]]>=val[hp[n]])break;swap(hp[m],hp[n]);swap(place[hp[m]],place[hp[n]]);n=m;}}
  void change(int n, T v){T f=val[n];val[n]=v;if(place[n]==-1){place[n] = size;hp[size++] = n;up(place[n]);}else{if(f < v) down(place[n]); else if(f > v) up(place[n]);}}
  int pop(void){int res=hp[0];place[res]=-1;size--;if(size)hp[0]=hp[size],place[hp[0]]=0,down(0);return res;}
};

int N, P[2000], Q[2000];
double p[2000], q[2000];

int main(){
  int i, j, k, loop;
  double res = 0, pp = 1;
  heapEx<double> hp;

  reader(&N);
  rep(i,N) reader(P+i);
  rep(i,N) reader(Q+i);

  rep(i,N) p[i] = P[i] / 1000.0;
  rep(i,N) q[i] = Q[i] / 100.0;

  hp.malloc(N);
  hp.init(N);
  rep(i,N) hp.change(i, -p[i]*q[i]);

  rep(loop,1000000){
    i = hp.hp[0];
    res -= (loop+1) * hp.val[i];
    p[i] += hp.val[i];
    pp += hp.val[i];
    hp.change(i, -p[i]*q[i]);
  }
  res += 1000000 * pp;
  writerLn(res);

  return 0;
}

C++によるスパゲッティなソースコード(補正込み)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define mygc(c) (c)=getchar_unlocked()
#define mypc(c) putchar_unlocked(c)

void reader(int *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
void writer(double x, char c){printf("%.15f",x);mypc(c);}
template<class T> void writerLn(T x){writer(x,'\n');}

template <class T>
struct heapEx {
  int *hp, *place, size; T *val;

  void malloc(int N){hp=(int*)std::malloc(N*sizeof(int));place=(int*)std::malloc(N*sizeof(int));val=(T*)std::malloc(N*sizeof(T));}
  void free(){free(hp);free(place);free(val);}
  void* malloc(int N, void *workMemory){hp=(int*)workMemory;workMemory=(void*)(hp+N);place=(int*)workMemory;workMemory=(void*)(place+N);val=(T*)workMemory;workMemory=(void*)(val+N);return workMemory;}
  void init(int N){int i;size=0;rep(i,N)place[i]=-1;}
  void up(int n){int m;while(n){m=(n-1)/2;if(val[hp[m]]<=val[hp[n]])break;swap(hp[m],hp[n]);swap(place[hp[m]],place[hp[n]]);n=m;}}
  void down(int n){int m;for(;;){m=2*n+1;if(m>=size)break;if(m+1<size&&val[hp[m]]>val[hp[m+1]])m++;if(val[hp[m]]>=val[hp[n]])break;swap(hp[m],hp[n]);swap(place[hp[m]],place[hp[n]]);n=m;}}
  void change(int n, T v){T f=val[n];val[n]=v;if(place[n]==-1){place[n] = size;hp[size++] = n;up(place[n]);}else{if(f < v) down(place[n]); else if(f > v) up(place[n]);}}
  int pop(void){int res=hp[0];place[res]=-1;size--;if(size)hp[0]=hp[size],place[hp[0]]=0,down(0);return res;}
};

int N, P[2000], Q[2000];
double p[2000], q[2000];

int main(){
  int i, j, k, loop;
  double res = 0, pp = 1;
  heapEx<double> hp;

  reader(&N);
  rep(i,N) reader(P+i);
  rep(i,N) reader(Q+i);

  rep(i,N) p[i] = P[i] / 1000.0;
  rep(i,N) q[i] = Q[i] / 100.0;

  hp.malloc(N);
  hp.init(N);
  rep(i,N) hp.change(i, -p[i]*q[i]);

  rep(loop,400000){
    i = hp.hp[0];
    res -= (loop+1) * hp.val[i];
    p[i] += hp.val[i];
    pp += hp.val[i];
    hp.change(i, -p[i]*q[i]);
  }
  res += (400000 + res/(1-pp) + pp*(40000+res)) * pp;
  writerLn(res);

  return 0;
}

Current time: 2017年09月22日22時30分41秒
Last modified: 2015年05月26日23時13分52秒 (by laycrs)
Tags: Competitive_Programming yukicoder
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