yukicoder No.136 - Yet Another GCD Problem

Source

ニコニコミュニティ
問題文

問題概要

正整数 $N,K$ が与えられる.
$\quad N = x_1 + x_2 + \ldots + x_m, \;\; 2 \leq m \leq K, \;\; x_i \in {\mathbb Z}_{> 0}$
という $N$ の分割を考えた時,${\rm GCD}(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ の最大値はいくらになるかを求める問題.

解法

${\rm GCD}(x_1,x_2,\ldots,x_m)$ が $z$ というのは,$x_i$ が全て $z$ の倍数ということ.
だから,${\rm GCD}(x_1,x_2+x_3+\cdots+x_m)$ などと考えても $z$ より小さくはならない.
よって,$K$ は関係なく,一般的に $m$ に分割することを考えなくても,$2$ 個に分割することだけを考えれば良い.
$N = a+b$ と分割する方法は $N-1$ 通りしか無いので,全部試してGCDを求めても間に合う.
時間計算量は $O(N \log N)$ で以下の解答はこれ.
実際には,$N = a + b$ で ${\rm GCD}(a,b)$ が最大となるのは,$N$ を割り切る $2$ 以上の最小の整数を $s$ として,$N = N/s + N(s-1)/s)$ と分割した時で,最大値 $N/s$ となる.
これを探せば,時間計算量 $O(\sqrt{N})$ 程度で求めることもできる.

C++によるスパゲッティなソースコード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define mygc(c) (c)=getchar_unlocked()
#define mypc(c) putchar_unlocked(c)

void reader(int *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
template <class T, class S> void reader(T *x, S *y){reader(x);reader(y);}
void writer(int x, char c){int s=0,m=0;char f[10];if(x<0)m=1,x=-x;while(x)f[s++]=x%10,x/=10;if(!s)f[s++]=0;if(m)mypc('-');while(s--)mypc(f[s]+'0');mypc(c);}
template<class T> void writerLn(T x){writer(x,'\n');}

template<class T> T GCD(T a,T b){T r; while(a){r=b; b=a; a=r%a;} return b;}

int main(){
  int i, k;
  int N, K;
  int res = 1;

  reader(&N,&K);
  REP(i,1,N){
    k = GCD(i, N-i);
    res = max(res, k);
  }
  writerLn(res);

  return 0;
}

Current time: 2017年11月21日04時13分24秒
Last modified: 2015年01月29日00時19分24秒 (by laycrs)
Tags: Competitive_Programming yukicoder
トップページに戻る

Logged in as: unknown user (not login)

ログイン: