yukicoder No.109 - N! mod M

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問題文

問題概要

$N!\ {\rm mod}\ M$ の値を求める問題．

解法

ウィルソンの定理，つまり，素数 $p$ について，
$\quad (p-1)! \equiv -1 \equiv p-1\ ({\rm mod}\ p)$
が成り立つことを利用し，場合分けを行う．
まず，$N \geq M$ の場合は，$N!$ の中に $M$ で掛け算している部分が含まれるので答えは $0$．
また，上の定理より，$M$ が素数であれば，$(M-1)!$ から $(M-1)(M-2) \cdots (N+1)$ を割れば良い．
$N \leq 10$ 程度の場合は，例外ケースがあるので，普通に計算することにして，$N$ がある程度大きいとする．
$M$ が合成数の場合は，結論から言うと，$N \geq M/2$ の時は答えは $0$ になり，そうでないときは，$N-M \leq 10^5$ より，$N \leq 2 \times 10^5$ だから，通常の階乗の定義に従って $O(N)$ 掛けて計算すれば良い．
答えが $0$ になる理由は，$M$ が素数べきでない場合は，$M = m_1 m_2, \;\; (m_1,m_2 \geq 2, {\rm GCD}(m_1,m_2)=1)$ と $2$ つの整数の積に分解すると，$\max(m_1,m_2)!$ 以降は ${\rm mod}\ M$ の値は $0$ になるから．
素数べき $p^k$ の場合は，$p=2$ 冪の場合には $4$ で素因数 $2$ 個増えるし，$p$ は $3$ 以上の場合は，$2p$ 倍からその素数の素因数の数が増えていくから（$N$ があまりに小さい場合を考えていないことに注意）．
時間計算量は $O(\min(N,(N-M) + \log M))$ 程度．

C++によるスパゲッティなソースコード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define mygc(c) (c)=getchar_unlocked()
#define mypc(c) putchar_unlocked(c)

#define ll long long
#define ull unsigned ll

void reader(int *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
void reader(ll *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
template <class T, class S> void reader(T *x, S *y){reader(x);reader(y);}
void writer(ll x, char c){int s=0,m=0;char f[20];if(x<0)m=1,x=-x;while(x)f[s++]=x%10,x/=10;if(!s)f[s++]=0;if(m)mypc('-');while(s--)mypc(f[s]+'0');mypc(c);}
template<class T> void writerLn(T x){writer(x,'\n');}

void extended_euclid(ll x,ll y,ll *c,ll *a,ll *b){
  ll a0,a1,a2,b0,b1,b2,r0,r1,r2,q;
  r0=x; r1=y; a0=1; a1=0; b0=0; b1=1;
  while(r1>0){
    q=r0/r1; r2=r0%r1; a2=a0-q*a1; b2=b0-q*b1;
    r0=r1; r1=r2; a0=a1; a1=a2; b0=b1; b1=b2;
  }
  *c=r0; *a=a0; *b=b0;
}

ll get_inv(ll n, ll p){
  ll a,b,c;
  extended_euclid(n,p,&c,&a,&b);
  if(a<p) a+=p;
  return a%p;
}

int T;
ll N, M;

int main(){
  int i, j, k;
  ll res, mul;


  reader(&T);
  while(T--){
    reader(&N,&M);
    if(N >= M){ writerLn(0); continue; }

    if(N <= 300000){
      res = 1 % M;
      REP(i,1,N+1) res = res * i % M;
    } else {
      for(i=2;i*i<=M;i++) if(M%i==0) break;
      if(i*i<=M){
        res = 0;
      } else {
        res = M-1;
        mul = 1;
        for(i=M-2;i>=N;i--) mul = mul * (i+1) % M;
        res = res * get_inv(mul, M) % M;
      }
    }
    writerLn(res);
    
  }

  return 0;
}

Current time: 2024年04月20日17時43分44秒
Last modified: 2017年11月09日19時19分04秒 (by laycrs)
Tags: Competitive_Programming yukicoder
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