Codeforces Round #243 DIV1 E問題 - Sereja and Sets

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Codeforces Round #243 DIV1 E問題 (2000pt)
Problem description

問題概要

$1$ 以上 $N$ 以下のみの実数が含まれる区間で,始点,終点が整数となる閉区間を考える.
つまり,$[L,R],\;1 \leq L \leq R \leq N$ なる区間を考える.
このような区間のみから成る集合を $S$ とする.
この $S$ から,いくつかの区間を取ってきて,どの実数 $x$ も,取ってきた区間の $2$ つ以上に含まれることが無いようにする.
このようにできるだけ多くの区間を取ってきたら最大で $K$ 個の区間が取ってこれたとする.
$S$ として考えうるのは何通りあるかを ${\rm mod}\ 1000000007\ (10^9+7)$ で求める問題.

解法

最初に,集合 $S$ が与えられた時,区間が重ならないように,$S$ から最も多くの区間を取ってくる方法を考える.
それは,Greedyで求めることができる.
まず,終点が一番小さい区間を取ってきてそれを採用する.
それと重なる区間を除いたもののうちで,また終点が一番小さい区間を取ってきてそれを採用する,と繰り返していけば良い.
では,集合 $S$ が何通りあるかという問題に戻る.
これは,DPで計算する.
終点が一番小さい区間の,終点がどこにあるかで場合分けする.
状態は(すでにいくつの区間を採用したか,前回採用した区間の終点はどこか)とする.
前回採用した区間の終点を $s$,次の区間の終点を $t$ としたとき,終点が $s$ 以降で,$t$ より小さい区間が $S$ にどれだけあるかの場合の数を計算しながらDPする.
これの場合の数を考えるが,まず,$s$ 以降で始まって,$t$ 以前で終わるものは許されないので,$s$ 以降で始まるものは必ず $t$ で終わらなければいけない.
そこで,そのような区間は $t-s$ 通りあって,それぞれ $S$ に含まれているかどうかの可能性があるが, $1$ つは含まれていないといけないので $2^{t-s}-1$ パターンある.
また,$s$ 以前から始まって,$t$ 以前で終わる区間($s$ 以前で終わるものは既にDPテーブルに保存されているので重複して数えない)は,全てあってもなくても良いので,そのパターン数も掛けておく.
最初に $2$ の冪 ${\rm mod}\ 10^9+7$ を全て計算しておけば,領域計算量は $O(NK)$,時間計算量は $O(N^2K)$ になる.

C++のスパゲッティなコード

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define REP(i,a,b) for(i=a;i<b;i++)
#define rep(i,n) REP(i,0,n)

#define READER_BUF_SIZE 1048576
#define WRITER_BUF_SIZE 1048576
int reader_pt=READER_BUF_SIZE,reader_last;char reader_buf[READER_BUF_SIZE];
int writer_pt=0;char writer_buf[WRITER_BUF_SIZE];
#define mygc(c) {if(reader_pt==READER_BUF_SIZE)reader_pt=0,reader_last=fread(reader_buf,sizeof(char),READER_BUF_SIZE,stdin);(c)=reader_buf[reader_pt++];}
#define mypc(c) {if(writer_pt==WRITER_BUF_SIZE)writer_pt=0,fwrite(writer_buf,sizeof(char),WRITER_BUF_SIZE,stdout);writer_buf[writer_pt++]=(c);}
#define myed {fwrite(writer_buf,sizeof(char),writer_pt,stdout);writer_pt=0;}

#define ll long long
#define M 1000000007

void reader(int *x){int k,m=0;*x=0;for(;;){mygc(k);if(k=='-'){m=1;break;}if('0'<=k&&k<='9'){*x=k-'0';break;}}for(;;){mygc(k);if(k<'0'||k>'9')break;*x=(*x)*10+k-'0';}if(m)(*x)=-(*x);}
void writer(int x, char c){int i,sz=0,m=0;char buf[10];if(x<0)m=1,x=-x;while(x)buf[sz++]=x%10,x/=10;if(!sz)buf[sz++]=0;if(m)mypc('-');while(sz--)mypc(buf[sz]+'0');mypc(c);}

ll dp[510][510];
ll pw[125510];
ll pwpw[510][510];

int main(){
  int N, K;
  int i,j,l,m;

  pw[0] = 1;
  REP(i,1,125510){ pw[i] = pw[i-1] * 2; if(pw[i] >= M) pw[i] -= M; }
  rep(i,501) REP(m,1,i+1) pwpw[i][m] = (pw[m] - 1) * pw[m*(i-m)] % M;
  
  reader(&N);
  reader(&K);

  rep(i,501) rep(j,501) dp[i][j] = 0;
  rep(i,501) dp[i][0] = 1;

  rep(i,501) REP(j,1,i+1){
    dp[i][j] = 0;
    REP(m,1,i+1) if(dp[i-m][j-1]) dp[i][j] = (dp[i][j] + dp[i-m][j-1] * pwpw[i][m]) % M;
  }

  dp[N][K] %= M;
  if(dp[N][K] < 0) dp[N][K] += M;
  writer((int)dp[N][K], '\n');

  myed;
  return 0;
}

Current time: 2017年09月26日02時07分10秒
Last modified: 2014年05月03日17時27分49秒 (by laycrs)
Tags: Competitive_Programming Codeforces CF243 CF_Div1_E
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